怎么证明数列单调有界

你好,可以用数学归纳法证明.大意如下: 假设 根号2 则 4 > an+1的平方 = 2+ an > 2an > an的平方 >= 2 则 2 > an+1 > an >= 根号2

设{x[n]}单调有界(不妨设单增),那么存在M>=x[n](任意n)所以{x[n]}有上确界,记作l对任意正数a,存在自然数N,使得x[N]>l-a因为x[n]单增,所以当n>=N时,l-a所以|x[n]-l|所以{x[n]}极限存在,为l

同济课本上对这个定理的说明是: 对于这个定理我们不做证明,只是给出它的在数轴上的几何意义,你可以参看一下.若要考试这个问题不会考定理证明的,而是要你先用证明某个数列的单调性,然后再证明这个数列的有界性,从而得出这个数列必是收敛的,也就是有极限存在, 然后在数列满足的已知等式两边取极限假设为A,然后求方程解出A,这个A就是数列的极限值. 简单的说,就是跟根据这个准则然后寻找两个条件从而说明极限的存在,然后算出极限值.

用柯西收敛定理就可以了

记Xn=(1+1/n)^n,按二项式定理展开:Xn=(1+1/n)^n =1+n/1!*1/n+n(n-1)/2!*1/n^2+n(n-1)(n-2)/3!*1/n^3+.+n(n-1)(n-2)*2*1/n!*1/n^n =1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)(1-2/n)++1/n!*(1-1/n)(1-2/n)[1-(n-1)/n] X(n+1)=[1+1/(n+1)]^(n+1) =1 +

这个可以考虑数列的每一项的每一位都可以被控制了.然后小数后不管多少位都被控制住,在利用数列收敛的定义即可

由通项公式知道an={(n+9)/(2n-1)}*a[n-1]={1/2+19/(4n-2)}*a[n-1]当n>10时,an由此知,当n>10,该数列单调递减,又由通项知,an>0,所以an有界,由单调有界性知其极限一定存在,设此极限为b,则当n趋于无穷大时等式b=b*{(n+9)/(2n-1)}成立从而解得此极限为b=0 这道题还可以把an进行放大来求解,放大后看起来会简单些,放大后得到an的通项为an可得an也趋于0,从而an的极限是0至于放大那里,我就不详细写了,你自己去试试吧

准则:单调有界数列必有极限 证明:不妨设数列{xn}单增(减),且{xn}有界,则根据确界存在定理{xn}有唯一上(下)确界M(m).下面证明limxn=M(limxn=m的证明类似).因为sup{xn}=M,所以任给小正数t,存在某个正整数N使xN>M-t.又xn递增,所以当n>N时,M>=xn>xN>M-t,因此-t<xn-M<=0<t,根据极限定义,limxn=M 证毕!

因为函数有界,所以函数的值域有界 所以函数值域必定有“最小上界” (supreme), S 因为是单调函数,所以对应任意小的e>0, 必定存在N>0使得对于任意x>N, 都有 | f(x) - S | 满足极限的定义. 亲 ~回答完毕~ 希望对你有帮助 ~\(^o^)/~祝学习进步~~~

同济课本上对这个定理的说明是: 对于这个定理我们不做证明,只是给出它的在数轴上的几何意义,你可以参看一下.若要考试这个问题不会考定理证明的,而是要你先用证明某个数列的单调性,然后再证明这个数列的有界性,从而得出这个数列必是收敛的,也就是有极限存在, 然后在数列满足的已知等式两边取极限假设为A,然后求方程解出A,这个A就是数列的极限值. 简单的说,就是跟根据这个准则然后寻找两个条件从而说明极限的存在,然后算出极限值.

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